在数学中，不等式是一种重要的工具，广泛应用于各种领域。以下是四个常见的基本不等式及其公式：

1. 算术平均-几何平均不等式（AM-GM 不等式）

设 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 是非负实数，则它们的算术平均值大于或等于几何平均值，即：

$$

\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}

$$

等号成立当且仅当 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$。

2. 柯西-施瓦茨不等式

对于任意两组实数 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 和 $b_1, b_2, \dots, b_n$，有：

$$

(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2

$$

等号成立当且仅当 $\frac{a_i}{b_i}$ 为常数（对于所有 $i$）。

3. 调和平均-几何平均不等式（HM-GM 不等式）

设 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 是正实数，则它们的调和平均值小于或等于几何平均值，即：

$$

\frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}} \leq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}

$$

等号成立当且仅当 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$。

4. 幂平均不等式

设 $p > q$，对于正实数 $a_1, a_2, \dots, a_n$，则它们的幂平均满足：

$$

\left(\frac{a_1^p + a_2^p + \cdots + a_n^p}{n}\right)^{\frac{1}{p}} \geq \left(\frac{a_1^q + a_2^q + \cdots + a_n^q}{n}\right)^{\frac{1}{q}}

$$

等号成立当且仅当 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$。

这些不等式是数学分析中的基石，不仅在理论研究中有重要作用，也在实际问题解决中发挥着关键作用。理解和掌握这些公式有助于更好地解决数学问题和优化设计。