【等差等比公式】在数学学习中，等差数列和等比数列是两个非常重要的数列类型。它们不仅在基础数学中频繁出现，在高等数学、物理、工程等领域也有广泛应用。掌握等差与等比数列的公式，有助于快速解决相关问题，提高解题效率。
以下是对等差数列和等比数列的基本公式的总结，以文字加表格的形式呈现，便于理解和记忆。
一、等差数列
等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差为一个常数的数列。这个常数称为“公差”，通常用字母 $ d $ 表示。
基本公式：
1. 通项公式：
$ a_n = a_1 + (n - 1)d $
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数，$ d $ 是公差。
2. 求和公式：
$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $
其中，$ S_n $ 是前 $ n $ 项的和。
3. 中间项性质：
若 $ m + n = p + q $，则 $ a_m + a_n = a_p + a_q $
二、等比数列
等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比为一个常数的数列。这个常数称为“公比”，通常用字母 $ r $ 表示。
基本公式：
1. 通项公式：
$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数，$ r $ 是公比。
2. 求和公式：
当 $ r \neq 1 $ 时，
$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ 或 $ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $
当 $ r = 1 $ 时，$ S_n = a_1 \cdot n $
3. 中间项性质：
若 $ m + n = p + q $，则 $ a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q $
三、对比总结表
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每项与前一项之差为常数 | 每项与前一项之比为常数 |
| 公差 | $ d $ | $ r $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 求和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ |
| 中间项性质 | $ a_m + a_n = a_p + a_q $ | $ a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q $ |
通过以上内容可以看出，等差数列和等比数列虽然结构不同，但都具有一定的规律性和可计算性。掌握它们的公式，不仅有助于考试中的快速解答，也能提升对数列问题的理解能力。在实际应用中，应根据题目条件灵活选择合适的公式进行计算。
