【求导公式是什么?】在数学中，导数是微积分中的一个基本概念，用于描述函数在某一点处的变化率。求导公式是指用来计算函数导数的一系列规则和公式。掌握这些公式对于学习微积分、解决实际问题以及理解函数的性质都非常重要。
为了帮助大家更好地理解和记忆常见的求导公式，以下是对常用求导公式的总结，并以表格形式展示，便于查阅和对比。
一、常见求导公式总结
1. 常数函数的导数
若 $ f(x) = c $（c 为常数），则导数为：
$$
f'(x) = 0
$$
2. 幂函数的导数
若 $ f(x) = x^n $（n 为实数），则导数为：
$$
f'(x) = n \cdot x^{n-1}
$$
3. 指数函数的导数
若 $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1），则导数为：
$$
f'(x) = a^x \ln a
$$
特别地，若 $ f(x) = e^x $，则导数为：
$$
f'(x) = e^x
$$
4. 对数函数的导数
若 $ f(x) = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1），则导数为：
$$
f'(x) = \frac{1}{x \ln a}
$$
特别地，若 $ f(x) = \ln x $，则导数为：
$$
f'(x) = \frac{1}{x}
$$
5. 三角函数的导数
- $ \sin x $ 的导数为：$ \cos x $
- $ \cos x $ 的导数为：$ -\sin x $
- $ \tan x $ 的导数为：$ \sec^2 x $
- $ \cot x $ 的导数为：$ -\csc^2 x $
- $ \sec x $ 的导数为：$ \sec x \tan x $
- $ \csc x $ 的导数为：$ -\csc x \cot x $
6. 反三角函数的导数
- $ \arcsin x $ 的导数为：$ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ \arccos x $ 的导数为：$ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ \arctan x $ 的导数为：$ \frac{1}{1 + x^2} $
- $ \text{arccot } x $ 的导数为：$ -\frac{1}{1 + x^2} $
7. 导数的基本运算法则
- 和差法则：$ (f \pm g)' = f' \pm g' $
- 积法则：$ (fg)' = f'g + fg' $
- 商法则：$ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $
- 链式法则：若 $ y = f(g(x)) $，则 $ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $
二、常见求导公式表
| 函数形式 | 导数 |
| $ f(x) = c $ | $ 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ n x^{n-1} $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ e^x $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arccos x $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
通过以上总结和表格，可以清晰地看到各类函数的导数公式及其适用范围。熟练掌握这些公式，有助于快速求解函数的导数，提高数学分析能力。
