【狄利克雷函数的值域】狄利克雷函数是数学中一个经典的函数，常用于分析学和实变函数论中，以展示某些函数的性质。它由德国数学家彼得·古斯塔夫·勒让德·狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）提出。该函数在数学中具有重要的理论意义，尤其在讨论连续性、可积性以及函数的构造等方面。
狄利克雷函数的定义如下：
$$
D(x) =
\begin{cases}
1, & \text{当 } x \in \mathbb{Q} \\
0, & \text{当 } x \notin \mathbb{Q}
\end{cases}
$$
也就是说，当输入 $x$ 是有理数时，函数值为 1；当 $x$ 是无理数时，函数值为 0。
狄利克雷函数的值域总结
根据上述定义，狄利克雷函数的值域只包含两个数值：0 和 1。因此，它的值域是一个有限集合。
| 值域元素 | 是否属于值域 |
| 0 | 是 |
| 1 | 是 |
| 其他实数 | 否 |
值域分析
从定义可以看出，狄利克雷函数的取值范围非常有限，仅限于 0 和 1。尽管这个函数在实数轴上处处不连续，但它仍然是一个定义良好的函数，并且在数学研究中被广泛使用。
其值域的简单性使得它成为研究函数性质的一个理想例子。例如，在判断函数是否可积或连续时，狄利克雷函数可以用来说明某些反例。
总结
狄利克雷函数的值域为 $\{0, 1\}$，即只有两个可能的输出值。这一特性使其在数学教学和理论研究中具有重要意义，尤其是在理解函数的不连续性和非可积性时。
