【微积分常用公式有哪些】在学习和应用微积分的过程中，掌握一些常用的公式是非常有必要的。这些公式不仅帮助我们快速计算导数、积分，还能在解决实际问题时提供重要的数学工具。以下是对微积分中常见公式的总结，便于查阅和记忆。
一、导数常用公式
| 函数形式 | 导数公式 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、积分常用公式
| 函数形式 | 不定积分公式 | ||
| $ f(x) = c $ | $ \int c \, dx = cx + C $ | ||
| $ f(x) = x^n $（n ≠ -1） | $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ f(x) = \sin x $ | $ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $ | ||
| $ f(x) = \cos x $ | $ \int \cos x \, dx = \sin x + C $ | ||
| $ f(x) = e^x $ | $ \int e^x \, dx = e^x + C $ | ||
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln | x | + C $ |
| $ f(x) = \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ |
三、基本积分法则
1. 线性性质
$ \int [af(x) + bg(x)] \, dx = a \int f(x) \, dx + b \int g(x) \, dx $
2. 换元积分法
若 $ u = g(x) $，则 $ \int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u) \, du $
3. 分部积分法
$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $
4. 三角函数积分
- $ \int \sin^2 x \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C $
- $ \int \cos^2 x \, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C $
5. 有理函数积分
对于形如 $ \frac{P(x)}{Q(x)} $ 的有理函数，可使用部分分式分解进行积分。
四、特殊函数的积分与导数
| 函数 | 导数 | 积分 | ||
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \cot x $ | $ -\csc^2 x $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
| $ \sec x $ | $ \sec x \tan x $ | $ \ln | \sec x + \tan x | + C $ |
| $ \csc x $ | $ -\csc x \cot x $ | $ -\ln | \csc x + \cot x | + C $ |
总结
微积分是数学中的重要分支，其核心内容包括导数和积分。掌握常见的导数和积分公式，有助于提高解题效率和理解数学本质。同时，熟悉积分法则和特殊函数的处理方法，也能在实际应用中发挥重要作用。建议在学习过程中不断练习，逐步建立起对这些公式的熟练运用能力。
