【反三角函数公式】反三角函数是三角函数的反函数，主要用于在已知三角函数值的情况下，求出对应的角。它们在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。以下是常见的反三角函数及其基本公式和性质的总结。
一、常见反三角函数定义
| 函数名称 | 表达式 | 定义域 | 值域 |
| 反正弦函数 | $ y = \arcsin(x) $ | $ x \in [-1, 1] $ | $ y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $ |
| 反余弦函数 | $ y = \arccos(x) $ | $ x \in [-1, 1] $ | $ y \in [0, \pi] $ |
| 反正切函数 | $ y = \arctan(x) $ | $ x \in \mathbb{R} $ | $ y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $ |
| 反余切函数 | $ y = \operatorname{arccot}(x) $ | $ x \in \mathbb{R} $ | $ y \in (0, \pi) $ |
| 反正割函数 | $ y = \operatorname{arcsec}(x) $ | $ x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $ | $ y \in [0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi] $ |
| 反余割函数 | $ y = \operatorname{arccsc}(x) $ | $ x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $ | $ y \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right] $ |
二、反三角函数的基本关系
| 公式 | 说明 |
| $ \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} $ | 正弦与余弦的反函数之和为 $ \frac{\pi}{2} $ |
| $ \arctan(x) + \operatorname{arccot}(x) = \frac{\pi}{2} $ | 正切与余切的反函数之和为 $ \frac{\pi}{2} $ |
| $ \operatorname{arcsec}(x) = \arccos\left(\frac{1}{x}\right) $ | 正割的反函数等于余弦的反函数的倒数形式 |
| $ \operatorname{arccsc}(x) = \arcsin\left(\frac{1}{x}\right) $ | 余割的反函数等于正弦的反函数的倒数形式 |
三、反三角函数的导数公式
| 函数 | 导数 | ||
| $ \frac{d}{dx} \arcsin(x) $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ \frac{d}{dx} \arccos(x) $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ \frac{d}{dx} \arctan(x) $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ \frac{d}{dx} \operatorname{arccot}(x) $ | $ -\frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ \frac{d}{dx} \operatorname{arcsec}(x) $ | $ \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
| $ \frac{d}{dx} \operatorname{arccsc}(x) $ | $ -\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
四、反三角函数的积分公式
| 函数 | 积分表达式 |
| $ \int \arcsin(x) \, dx $ | $ x \arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2} + C $ |
| $ \int \arccos(x) \, dx $ | $ x \arccos(x) - \sqrt{1 - x^2} + C $ |
| $ \int \arctan(x) \, dx $ | $ x \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ |
| $ \int \operatorname{arccot}(x) \, dx $ | $ x \operatorname{arccot}(x) + \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ |
五、应用举例
1. 解方程：如 $ \sin(x) = \frac{1}{2} $，则 $ x = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $。
2. 几何计算：在直角三角形中，若对边为1，斜边为2，则角度为 $ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) $。
3. 物理问题：在力学中，计算角度时常用反正切函数，例如速度的夹角。
六、注意事项
- 反三角函数的定义域和值域是固定的，不能随意改变。
- 在使用计算器或编程语言时，需注意单位（弧度或角度）。
- 某些反三角函数在特定区间内可能有不同的定义方式（如 arccot 的值域）。
通过掌握这些反三角函数的基本公式和性质，可以更高效地解决涉及角度和三角关系的问题。在实际应用中，合理选择合适的反三角函数并结合导数、积分等工具，能够大大提升解题效率。
