【三角函数角度公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握常见的三角函数角度公式对于理解和应用三角函数至关重要。以下是对常用三角函数角度公式的总结，以文字说明加表格的形式呈现，帮助读者快速查阅和记忆。
一、基本定义
在直角三角形中，设一个锐角为θ，则其对应的三角函数定义如下：
- 正弦（sin）：对边与斜边的比值
- 余弦（cos）：邻边与斜边的比值
- 正切（tan）：对边与邻边的比值
- 余切（cot）：邻边与对边的比值
- 正割（sec）：斜边与邻边的比值
- 余割（csc）：斜边与对边的比值
二、常见角度的三角函数值（0°、30°、45°、60°、90°）
| 角度（°） | sinθ | cosθ | tanθ | cotθ | secθ | cscθ |
| 0° | 0 | 1 | 0 | ∞ | 1 | ∞ |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 90° | 1 | 0 | ∞ | 0 | ∞ | 1 |
三、诱导公式（角度转换）
用于将任意角θ转换为0°～360°范围内的等效角度，便于计算。
| 原角θ | 等效角θ' | 公式表达 |
| θ + 360° | θ | sin(θ + 360°) = sinθ |
| θ + 180° | θ + 180° | sin(θ + 180°) = -sinθ |
| θ + 90° | θ + 90° | sin(θ + 90°) = cosθ |
| -θ | 360° - θ | sin(-θ) = -sinθ |
| 90° - θ | 90° - θ | sin(90° - θ) = cosθ |
四、和差角公式
用于计算两个角度之和或差的三角函数值。
| 公式类型 | 公式表达 |
| sin(A ± B) | sinAcosB ± cosAsinB |
| cos(A ± B) | cosAcosB ∓ sinAsinB |
| tan(A ± B) | (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB) |
五、倍角公式
用于计算角度的两倍、三倍等的三角函数值。
| 公式类型 | 公式表达 |
| sin2θ | 2sinθcosθ |
| cos2θ | cos²θ - sin²θ 或 2cos²θ - 1 或 1 - 2sin²θ |
| tan2θ | 2tanθ / (1 - tan²θ) |
六、半角公式
用于计算角度的一半的三角函数值。
| 公式类型 | 公式表达 |
| sin(θ/2) | ±√[(1 - cosθ)/2] |
| cos(θ/2) | ±√[(1 + cosθ)/2] |
| tan(θ/2) | ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] |
七、积化和差与和差化积公式
用于将乘积形式转化为和差形式，或反之。
| 公式类型 | 公式表达 |
| sinAcosB | [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosAsinB | [sin(A+B) - sin(A-B)] / 2 |
| cosAcosB | [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 |
| sinAsinB | -[cos(A+B) - cos(A-B)] / 2 |
| sinA + sinB | 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| cosA + cosB | 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB | 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
| cosA - cosB | -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
通过以上内容，我们可以系统地了解三角函数角度公式的基本概念、常见角度值、诱导公式、和差角、倍角、半角以及积化和差等重要公式。这些公式不仅是学习三角函数的基础，也是解决实际问题的重要工具。建议结合图形理解，并通过练习加深记忆。
